899. Новиков Д.А., Орлов А.И. Математические методы анализа интервальных данных // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2014. Т.80. №7. С. 5 – 6.

Математические методы анализа интервальных данных

	Перспективная и быстро развивающаяся область математических методов исследования — методы анализа интервальных данных. Результаты измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) всегда имеют некоторую неопределенность. Эту неопределенность можно описывать с помощью различных математических средств. Традиционным является вероятностно-статистический подход, согласно которому разность между реальным значением признака и зафиксированным исследователем описывается случайной величиной. Последние десятилетия для описания неопределенности всё чаще используют аппарат теории нечетких множеств. Полезным является и третий подход, в котором неопределенность описывается интервалом. Другими словами, исходные данные — не числа, а интервалы. 
	Длина интервала может определяться ценой деления шкалы. Например, если при измерении длины цена деления шкалы – 1 мм, то зафиксированный исследователем результат измерения 23 мм соответствует реальному значению от 22,5 мм до 23,5 мм, т.е. результат измерения естественно записать как интервал [22,5; 23,5]. Естественная неопределенность будущих значений часто описывают интервалом. Так, прогноз температуры воздуха на следующий момент может быть иметь вид [17; 20] (градусов Цельсия), т.е. от 17 оС до 20 оС.
	Математические методы исследования, предназначенные для анализа интервальных данных, разрабатываются в нашей стране с конца 1970-х годов. Наш журнал всегда уделял заметное внимание этой тематике. 
	В 1990 г. была проведена дискуссия по анализу интервальных данных (1990/7 - здесь и далее приводим ссылки на год и номер журнала, в котором опубликована соответствующая статья). «Затравкой» была статья А.П. Вощинина, А.Ф. Бочкова и Г.Р. Сотирова «Метод анализа данных при интервальной нестатистической ошибке». В дискуссии выступили В.П. Бородюк, Е.З. Демиденко, Э.К. Лецкий, А.И. Орлов, И.Л. Легостаева, В.П. Кузнецов. В дальнейшем дискуссия была продолжена, к ней присоединились В.Г. Горский, Н.В. Скибицкий, П.В. Бронз, Е.А. Гуськова.
	Есть два основных подхода к анализу интервальных данных. А.П. Вощинин (1937 - 2008) и его соавторы описывали погрешности интервалами, не прибегая к использованию вероятностно-статистических составляющих. Был разработан метод анализа данных с интервальными ошибками в задачах проверки гипотез и оценивания параметров неявных и линейно параметризованных функций (2000/3). В соответствии с этим методом рассмотрено построение аналитических моделей по данным вычислительного эксперимента в задачах анализа чувствительности и оценки экономических рисков (2007/1). Интервальный подход оказался полезным для выражения неопределенности измерений и при калибровке цифровых измерительных систем (2007/11). Обсуждалось развитие интервального анализа данных и его перспективы (2002/1).
	Другой подход – прикладная математическая статистика интервальных данных - развивается А.И. Орловым и его соавторами в рамках статистики объектов нечисловой природы. Речь идет о развитии методов прикладной математической статистики в ситуации, когда статистические данные — не числа, а интервалы, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин. При этом центр интервала – значение случайной величины, а длина интервала – в базовой модели - задана (и равна предельной абсолютной ошибке измерения). Основополагающими являются понятия нотны (максимально возможного (по абсолютной величине) отклонения значения статистики, вызванного погрешностями наблюдений) и рационального объема выборки. Алгоритмы и выводы статистики интервальных данных принципиально отличаются от классических. В частности, не существует состоятельных оценок, поскольку средний квадрат ошибки всегда больше квадрата нотны. Нецелесообразно увеличивать объем выборки сверх рационального. 
	В рамках этого подхода разработаны алгоритмы интервальной линейной парной регрессии (2005/3). Развитие работ по прикладной математической статистике интервальных данных рассматривалось в обзорах по статистике объектов нечисловой природы (1990/3, 1995/3, 1995/5, 2009/5). При изучении устойчивости выводов, получаемых с помощью математических методов и моделей, также естественно исходить из модели интервальных данных (2010/3).
	Есть принципиальное отличие между интервальной математикой и статистикой интервальных данных. Интервальная математика предназначена для отслеживания погрешностей при округлении, поэтому, например, [a, b] - [a, b] = [a - b, b - a], а не 0, как в обычной арифметике. В то время как в прикладной математической статистике интервальных данных [a, b] - [a, b] = 0, поскольку центр интервала один и тот же, как и отклонение от него. В нашей стране интервальной математикой занимается научная школа акад. Ю.И. Шокина (З.Х. Юлдашев, С.А. Калмыков, Б.С. Добронец, С.П. Шарый, А.Н. Рогалёв и др.).
	Анализ интервальных данных – одна из точек роста современной прикладной статистики (1998/3), поэтому это направление подробно обсуждалось в статьях по итогам и перспективам математических методов исследования (2002/1), по нерешенным вопросам в этой области (2002/3). Одной из основных черт новой парадигмы прикладной статистики является разработка математико-статистических методов анализа интервальных данных (2012/1, часть I).
	По нашему мнению, во все виды статистического программного обеспечения должны быть включены алгоритмы интервальной статистики, «параллельные» обычно используемым в настоящее время алгоритмам прикладной математической статистики. Это позволит в явном виде учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений (измерений, испытаний, анализов, опытов). В одном из ближайших номеров журнала будет помещена обобщающая статья по статистике интервальных данных.

Член-корр. РАН Д.А. Новиков,
докт. техн. наук, докт. экон. наук А.И. Орлов